Logisisme dalam Matematika

Logisisme dalam Matematika

Logisisme adalah desertasi bahwa matematika diturunkan menjadi logika, oleh sebab itu tidak ada sama sekali bagian dari logika (Carnap 1931/1883, 41). Para ahli Logika berpendapat bahwa matematik dapat dikenal  a priori, tetapi mereka menyarankan bahwa pengetahuan matematika adalah hanya bagian dari pengetahuan logika secara umum, jadi secara analitis tidak membutuhkan kemampuan khusus tentang intuisi matematik. Dalam sudut pandang ini, logika adalah dasar-dasar yang benar dari matematika, dan semua pernyataan matematik memerlukan kebenaran logika.

Rudolf Carnap (1931) memperkenalkan desertasi para ahli logika yang terdiri dari dua bagian :

1. Konsep-konsep matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika melalui definisi-definisi yang gamblang/jelas.

2. Teorema-teorema matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika melalui  pengambilan kesimpulan murni.

Gottlob Frege adalah penemu logisisme. Dalam tulisannya Die Grundgesetze der Arithmetik (Basic Laws of Arithmetic) ia membangun aritmetika dari suatu sistem logika dengan prinsip pemahaman yang umum, yang disebut "Basic Law V" (untuk konsep F dan G, perluasan dari F sama dengan perluasan dari G jika dan hanya jika untuk semua obyek a, Fa jika dan hanya jika Ga), sebuah prinsip yang dapat diterima sebagai bagian dari logika.

Konstruksi Frege ini cacat. Russell menemukan bahwa Basic Law V tidak konsisten. (disebut dengan paradoks Russell).  Setelah Frege meninggalkan ahli-ahli program logikanya, diteruskan oleh Russell dan Whitehead  dengan menghubungkan paradoks  "lingkaran setan" tersebut dan kemudian membangun apa yang mereka sebut dengan jenis teori yang bercabang (ramified type theory) untuk menanganinya. Dalam sistem ini, mereka akhirnya mampu membangun banyak matematika modern, tetapi  bentuknya berubah dan kebanyakan kompleks (sebagai contoh, ada bilangan asli yang berbeda dalam setiap jenis, dan ada banyak jenis yang tak hingga). Mereka juga telah membuat beberapa kompromi untuk mengembangkan begitu banyak matematika, seperti "axiom of reducibility". Bahkan Russell mengatakan bahwa aksioma ini tidak benar-benar termasuk logika.

Para ahli logika moderen (seperti Bob Hale, Crispin Wright, dan mungkin yang lainnya) telah kembali ke program yang lebih mendekati ke Frege. Mereka telah meninggalkan Basic Law V dan setuju terhadap prinsip-prinsip abstraksi seperti prinsip Hume (banyaknya obyek yang jatuh dibawah konsep F sama dengan banyaknya obyek yang jatuh dibawah konsep G jika dan hanya jika extension dari F dan extension dari G dapat digolongkan ke dalam korespondensi satu-satu). Frege membutuhkan Basic Law V agar mampu memberikan definisi ekplisit dari bilangan, tetapi semua sifat-sifat bilangan dapat diturunkan dari prinsip Hume. Hal ini tidak cukup untuk Frege karena tidak meniadakan kemungkinan bahwa bilangan 3 sebetulnya adalah Julius Caesar.

Jika matematika adalah bagian dari logika, maka pertanyaan-pertanyaan tentang obyek matematik mengurangi pertanyaan-pertanyaan tentang obyek logika. Satu pertanyaan, apa obyek dari konsep logika?  Logisisme dapat diartikan sebagai  pergeseran pertanyaan tentang filsafat matematika beralih ke pertanyaan tentang  logika tanpa jawaban secara lengkap.